यदि frac{1}{sqrt{alpha}} और frac{1}{sqrt{beta | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ और $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल हैं।मूलों का योग: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}

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$\alpha^{3/2}$ और $\beta^{3/2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ और $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल हैं।मूलों का योग: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} = -\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha\beta}} = -\frac{b}{a}$.मूलों का गुणनफल: $\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \sqrt{\alpha\beta}$.$a$ का मान योग के समीकरण में रखने पर: $\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha\beta}} = -\frac{b}{\sqrt{\alpha\beta}} \Rightarrow b = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.दिया गया समीकरण $x^2 + (b^3 - 3ab)x + a^3 = 0$ है।सर्वसमिका $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ का उपयोग करने पर,$b^3 = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^3 = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}))$.साथ ही,$3ab = 3(\sqrt{\alpha\beta})(-(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) = -3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.अतः,$b^3 - 3ab = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})$.और $a^3 = (\sqrt{\alpha\beta})^3 = \alpha^{3/2}\beta^{3/2}$.समीकरण $x^2 - (\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})x + \alpha^{3/2}\beta^{3/2} = 0$ बन जाता है।इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha^{3/2}$ और $\beta^{3/2}$ हैं।

यदि $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ और $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ $(a \neq 0, a, b \in R)$ के मूल हैं,तो समीकरण $x(x + b^3) + (a^3 - 3abx) = 0$ के मूल क्या हैं?

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दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
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